В 1967 году окончил Ереванский художественно-театральный институт. В 1968–1971 годах жил в Москве, с 1972 года — в Ереване.

В числе его картин — «Композиция» (1956), «Человек в космосе» (1996), «Памяти Акопа Джарахяна» (1982). С 1990 года он создаёт абстрактные композиции с яркой, многоцветной гаммой.

Скульптурам Элибекяна свойственны контрасты пластических форм («Женское тело», дерево, 1972, «Женское лицо», туф, 1981).

Осуществлял постановки: «Г. Якулов» (1985, Ереван), «Живопись и скульптура во времени и пространстве» (1986, Юрмала), «Армения вчера, сегодня, завтра» (1993), «Люби человека» (2001), «Гамлет не Гамлет, или Месть за отца» (2003, все три, Ереван). Оформил спектакли «Играя Стриндберга» Фридриха Дюрренматта (1975), «Страна Наири» Егише Чаренца (1977, оба, YDT), «Хатабала» Габриела Сундукяна (1978, Национальный академический театр имени Габриела Сундукяна).

Работы Генри Элибекяна находятся в Третьяковской галерее в Москве, Государственном музее народов Востока, Государственном центральном театральном музее им. А. А. Бахрушина в Москве, Музее-общественном центре мира, прогресса и прав человека им. А. Д. Сахарова, Национальной галерее Армении, Ереванском музее современного искусства, а также в музеях и коллекциях других городов.