1967 թվականին ավարտել է Երևանի գեղարվեստաթատերական ինստիտուտը։ 1968-1971 թվականին ապրել է Մոսկվայում, 1972 թվականից՝ Երևանում։

Գեղանկարչական գործերից են՝ «Կոմպոզիցիա» (1956), «Մարդը տարածության մեջ» (1996), «Հակոբ Ջարախյանի հիշատակին» (1982)։ 1990 թվականից ստեղծել է վերացական բնույթի, վառ, բազմագույն գամմայով կոմպոզիցիաներ։

Էլիբեկյանի քանդակներին բնորոշ են պլաստիկական ձևերի հակադրությունները («Կնոջ մարմին», փայտ, 1972, «Կնոջ դիմաքանդակ», տուֆ, 1981)։

Կատարել է նաև բեմականացված ակցիաներ. «Գ. Յակուլով» (1985, Երևան), «Գեղանկարչություն և քանդակագործություն ժամանակի և տարածության մեջ» (1986, Յուրմալա), «Հայաստանը երեկ, այսօր, վաղը» (1993), «Սիրեցեք մարդուն» (2001), «Համլետը Համլետ չէ կամ վրեժխնդրություն հոր համար» (2003, երեքն էլ՝ Երևան)։ Ձևավորել է Ֆրիդրիխ Դյուրենմաթի «Խաղում ենք Սթրինդբերգ» (1975), Եղիշե Չարենցի «Երկիր Նաիրի» (1977, երկուսն էլ՝ ԵԴԹ), Գաբրիել Սունդուկյանի «Խաթաբալա» (1978, Գաբրիել Սունդուկյանի անվան ազգային ակադեմիական թատրոն) ներկայացումները։

Հենրի Էլիբեկյանի ստեղծագործությունները գտնվում են Մոսկվայի Տրետյակովյան պատկերասրահում, Արևելքի ժողովուրդների պետական թանգարանում, Բախրուշինի անվան պետական կենտրոնական թատերական թանգարանում, Մոսկվայի Ա. Սախարովի անվան «Խաղաղություն, առաջընթաց և մարդու իրավունքներ» թանգարան-հասարակական կենտրոնում, Հայաստանի ազգային պատկերասրահում, Երևանի ժամանակակից արվեստի թանգարանում և այլ քաղաքների թանգարաններում և հավաքածուներում։